RSS

Metode Pendekatan Akar Kuadrat Babilonia

Diposting oleh Tiar Ayu .K. |

Tiar Ayu Kuntari
11313244013

1. Sejarah Angka Babilonia

Peradaban Babilonia di Mesopotamia menggantikan peradaban Sumeria dan peradaban Akkadia. Babilonia mengenal (basis 60) untuk mengamati astronomi dan perhitungan dibantu oleh penemuan mereka tentang sempoa. Sistem sexagesimal ini pertama kali muncul sekitar 3100 SM. Angka Babilonia ditulis dalam huruf paku, menggunakan baji-tip buluh stylus. Hal ini juga diakui sebagai yang pertama dikenal yaitu sistem angka posisional , di mana nilai digit tertentu tergantung pada angka itu sendiri dan posisinya dalam angka tersebut. Ini merupakan perkembangan yang sangat penting, karena yang memerlukan simbol-simbol unik untuk mewakili masing-masing kekuatan basis (sepuluh, seratus, seribu, dan sebagainya).
Simbol untuk menghitung unit dan  menghitung puluhan. Simbol-simbol dan nilai-nilai mereka digabung untuk membentuk sebuah digit dalam nilai notasi tanda, cara yang mirip dengan angka Romawi, misalnya, kombinasimewakili digit 23. Sebuah ruang yang tersisa untuk menunjukkan tempat tanpa nilai. Babilonia kemudian menemukan tanda untuk mewakili tempat kosong. Mereka tidak memiliki simbol untuk fungsi titik radix, sehingga tempat unit harus disimpulkan dari konteks: bisa mewakili 23 atau 23 × 60 atau 23 × 60 ×60 atau 22/60, dll.
Sistem dengan jelas digunakan internal desimal untuk mewakili angka, tetapi tidak benar benar campuran-radix sistem basis 10 dan 6, digunakan hanya untuk memfasilitasi representasi dari himpunan besar angka yang dibutuhkan, sementara tempat nilai dalam sebuah digit secara konsisten basis 60 dan aritmetika yang dibutuhkan untuk bekerja dengan angka itu Sejalan sexagesimal.
Warisan sexagesimal masih bertahan sampai hari ini, dalam bentuk derajat (360° dalam lingkaran atau 60° di sudut sebuah segitiga sama sisi), menit dan detik dalam trigonometri serta pengukuran waktu, walaupun kedua sistem ini radix sebenarnya adalah campuran.
Sebuah teori umum adalah bahwa 60 sebuah angka komposit (yang sebelumnya dan berikutnya dalam seri menjadi 12 dan 120), dipilih karena perusahaan faktorisasi prima : 2 × 2 × 3 × 5, yang membuatnya habis dibagi oleh 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 , 12, 15, 20, dan 30. Bahkan, itu adalah bilangan bulat terkecil yang habis dibagi semua bilangan bulat 1-6. Integer dan fraksi diwakili identik sebuah titik radix tidak ditulis melainkan dijelaskan oleh konteks.
2. Sistem Bilangan Babilonia

Babilonia tidak memiliki digit, atau konsep, jumlah nol. Meskipun mereka memahami ide ketiadaan , tidak dilihat sebagai hanya-kurangnya jumlah nomor. Babilonia memiliki justru spasi (dan kemudian simbol placeholder ) Untuk menandai tidak adanya digit dalam nilai tempat tertentu. Berikut adalah 59 simbol angka babylonia yang dibangun dari dua symbol :

Misalnya 12345 desimal merupakan
1 1× 〖10〗^4  + 2 〖10〗^4  + 2 〖10〗^3   + 3 〖10〗^3  + 3 〖10〗^2  + 4 〖10〗^2  + 4 10 + 5 10 + 5
Jika orang berpikir tentang hal ini mungkin tidak logis karena kita membaca dari kiri ke kanan sehingga ketika kita membaca digit pertama kita tidak tahu nilainya sampai kita telah membaca nomor lengkap untuk mengetahui berapa banyak kekuatan dari 10 yang berkaitan dengan tempat pertama. Sistem posisi Babilonia sexagesimal tempat angka dengan konvensi yang sama, sehingga posisi yang paling kanan adalah untuk unit ke 59, posisi satu ke kiri adalah selama 60 n di mana 1 ≤ n ≤ 59, dll Sekarang kita mengadopsi notasi yang memisahkan angka dengan koma begitu, misalnya,  1,57,46,40 merupakan  jumlah sexagesimal
1 1 ×〖60〗^3  + 57 〖60〗^3  + 57 〖60〗^2  + 46 〖60〗^2  + 46 60 + 40 60 + 40
yang, dalam notasi desimal adalah 424.000     .
Berikut ini adalah   1,57,46,40 dalam angka Babilonia
Sekarang ada masalah potensial dengan sistem. Sejak dua diwakili oleh dua karakter masing-masing mewakili satu unit, dan 61 diwakili oleh karakter satu untuk unit di tempat pertama dan kedua karakter yang identik untuk unit di tempat kedua maka jumlah sexagesimal Babel 1,1 dan 2 basisnya representasi yang sama. Namun, ini bukan masalah karena jarak satu karakter diperbolehkan untuk membedakannya. Dalam simbol selama karakter yang mewakili unit sentuhan satu sama lain dan menjadi simbol tunggal. Dalam jumlah 1,1 ada ruang antara mereka.
Masalah yang jauh lebih serius adalah kenyataan bahwa tidak ada nol untuk dimasukkan ke dalam posisi kosong. Jumlah angka sexagesimal 1 dan 1,0, yaitu 1 dan 60 dalam desimal, memiliki representasi yang persis sama dan sekarang tidak ada cara yang bisa membantu.
Konteks itu menjelaskan, ini muncul sangat tidak memuaskan, tidak bisa ditemukan sehingga oleh orang Babilonia. Bagaimana kita tahu ini? Jika mereka benar-benar menemukan bahwa sistem yang disajikan dengan ambiguitas nyata mereka akan memecahkan masalah ada sedikit keraguan bahwa mereka memiliki keterampilan untuk solusi system yang sudah tidak bisa dijalankan. Mungkin kita harus menyebutkan di sini bahwa peradaban Babilonia itu kemudian menciptakan simbol untuk menunjukkan tempat yang kosong sehingga kurangnya nol tidak bisa
benar-benar memuaskan kepada mereka.
Tempat kosong di tengah angka juga memberi masalah. Meskipun bukan komentar yang sangat serius, mungkin layak berkomentar bahwa jika berasumsi bahwa semua angka desimal sama-sama mungkin di kemudian ada satu kesempatan sepuluh tempat yang kosong sedangkan untuk Babilonia dengan sistem sexagesimal mereka ada enam puluh satu kesempatan. Kembali ke tempat-tempat kosong di tengah-tengah angka kita bisa melihat pada contoh-contoh nyata dimana hal ini terjadi.
Berikut adalah contoh dari sebuah tablet yang berbentuk baji (sebenarnya AO 17.264 dalam koleksi Louvre di Paris) di mana perhitungan untuk persegi 147 dilakukan. Di sexagesimal 147 = 2,27 dan penguadratan angka 21609 = 6,0,9. Dalam sexagesimal 147 = 2,27 dan menegakkan memberikan jumlah 21.609 = 6,0,9.
Berikut adalah contoh Babel 2,27 kuadrat

Mungkin sedikit ruang kiri lebih dari biasanya antara 6 dan 9 daripada yang dilakukan telah mewakili 6,9. Sekarang jika ruang kosong menyebabkan masalah dengan bilangan bulat maka ada masalah yang lebih besar dengan pecahan sexagesimal Babilonia. Orang-orang Babilonia menggunakan sistem pecahan sexagesimal mirip dengan pecahan desimal kami. Sebagai contoh  jika kita menulis 0,125 maka ini adalah
  Tentu saja sebagian kecil dari bentuk a/b, dalam bentuk terendah, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal terbatas jika dan hanya jika b tidak mempunyai pembagi prima selain 2 atau 5. Jadi 1/3 tidak mempunyai pecahan desimal terbatas.
Demikian pula fraksi sexagesimal Babel 7,30 diwakili 7/60 + 30/3600 yang ditulis dalam notasi adalah 1/8 Karena 60 habis dibagi oleh, bilangan prima 2 3 dan 5 kemudian sejumlah bentuk a/b, dalam bentuk terendah, dapat direpresentasikan sebagai pecahan desimal terbatas jika dan hanya jika b tidak mempunyai pembagi prima selain 2, 3 atau 5. Beberapa sejarawan berpikir bahwa penelitian ini memiliki pengaruh langsung terhadap mengapa Babilonia mengembangkan sistem sexagesimal, daripada sistem desimal. Jika ini adalah kasus mengapa tidak memiliki 30 sebagai basis.

Notasi yang akan digunakan untuk menunjukkan sejumlah sexagesimal dengan bagian pecahan. Untuk menggambarkan 10,12,5; 1,52,30 merupakan jumlah  10 x 10 x 60^2+12 x 60^2 + 12 x 60 + 5+ 
Yang dalam notasi adalah 36.725 1/32. Ini bagus tapi telah memperkenalkan notasi dari titik koma untuk menunjukkan mana bagian bilangan bulat berakhir dan bagian pecahan dimulai. Ini adalah titik "sexagesimal" dan memainkan peran serupa untuk titik desimal. Namun, Babilonia tidak memiliki notasi untuk menunjukkan mana bagian bilangan bulat berakhir dan bagian pecahan dimulai. Oleh karena itu ada banyak ambiguitas diperkenalkan dan "konteks membuat filsafat". Jika saya menulis 10, 12, 5, 1, 52, 30 tanpa memiliki notasi untuk jalur "sexagesimal" maka bisa berarti salah satu dari:
0;10,12, 5, 1,52,30 0; 10,12, 5, 1,52,30                                                                  
10;12, 5, 1,52,30 10, 12, 5, 1,52,30
10,12; 5, 1,52,30 10,12; 5, 1,52,30
10,12, 5; 1,52,30 10,12, 5; 1,52,30
10,12, 5, 1;52,30 10,12, 5, 1; 52,30
10,12, 5, 1,52;30 10,12, 5, 1,52; 30
10,12, 5, 1,52,30 10,12, 5, 1,52,30
selain itu, tentu saja, sampai 10, 12, 51, 52, 30, 0 atau 0, 0, 10, 12, 51, 52, 30 dll
Akhirnya kita harus melihat pada pertanyaan mengapa orang Babilonia memiliki sistem bilangan dengan basis 60. Jawaban mudah adalah bahwa mereka mewarisi basis 60 dari. Hal itu hanya membawa kita untuk bertanya mengapa digunakan Sumeria 60 dasar. Komentar pertama adalah yakin bahwa sistem sexagesimal berasal dari Sumeria. Titik kedua adalah bahwa matematika modern bukan yang pertama mengajukan pertanyaan seperti itu. Theon dari Alexandria mencoba menjawab pertanyaan ini pada abad keempat Masehi dan banyak sejarawan matematika telah menawarkan pendapat sejak itu tanpa datang dengan benar-benar meyakinkan jawaban.
Neugebauer mengusulkan teori berdasarkan bobot dan ukuran yang digunakan Sumeria. Dasarnya adalah bahwa sistem penghitungan desimal itu diubah ke basis 60 untuk memungkinkan membagi bobot dan ukuran menjadi tiga. Tentu saja kita tahu bahwa sistem bobot dan ukuran dari Sumeria memang menggunakan
Dan sebagai pecahan dasar.
Beberapa teori telah berdasarkan peristiwa astronomi. Usulan bahwa 60 adalah produk dari jumlah bulan dalam tahun (bulan per tahun), dengan jumlah planet (Merkurius, Venus,Mars, Jupiter, Saturnus) tampaknya jauh diambil sebagai alasan untuk basis 60. Itu tahun itu diperkirakan memiliki 360 hari disarankan sebagai alasan untuk dasar jumlah 60 dengan sejarawan matematika Moritz Cantor. Sekali lagi ide yang tidak meyakinkan Sumeria tentu tahu bahwa tahun lebih panjang dari 360 hari. Kekhawatiran lain hipotesis bahwa matahari bergerak melalui diameter 720 kali dalam sehari dengan 12 jam orang Sumeria dalam sehari.
Beberapa teori didasarkan pada geometri. Sebagai contoh satu teori adalah bahwa sebuah segitiga sama sisi dianggap sebagai blok bangunan dasar geometri oleh Sumeria. Sudut segitiga sama sisi adalah 60° jadi jika ini dibagi menjadi 10, sudut 6° akan menjadi unit sudut dasar. Sekarang ada enam puluh unit-unit dasar dalam lingkaran sehingga lagi kita memiliki alasan yang diajukan untuk memilih 60 sebagai dasar.
Matematika Babilonia ditulis menggunakan sistem bilangan seksagesimal (basis-60). Dari sinilah diturunkannya penggunaan bilangan 60 detik untuk semenit, 60 menit untuk satu jam, dan 360 (60 x 6) derajat untuk satu putaran lingkaran, juga penggunaan detik dan menit pada busur lingkaran yang melambangkan pecahan derajat. Juga, tidak seperti orang Mesir, Yunani, dan Romawi, orang Babilonia memiliki sistem nilai-tempat yang sejati, di mana angka-angka yang dituliskan di lajur lebih kiri menyatakan nilai yang lebih besar, seperti di dalam sistem desimal.
3. Metode Babilonia untuk memperkirakan akar kuadrat
Bisakah kamu menentukan nilai dari  tanpa menggunakan kalkulator? Masyarakat Babilonia yang hidup pada masa 2000-1600 sebelum masehi, atau sekitar 4000 tahun yang lalu, sudah memiliki metode sendiri untuk memperkirakan nilai dari akar kuadrat suatu bilangan. Mengagumkan bukan? Dimulai dengan masalah menentukan panjang diagonal suatu gerbang yang lebarnya   dan tingginya  , atau dengan kata lain memperkirakan nilai dari   Metode Babilonia memberikan perkiraan sebagai berikut.
Menggunakan pecahan biasa, bukan pecahan seksagesimal yang digunakan masayarakat Babilonia, tinggi gerbang yang diukur adalah 2/3 rod (satuan panjang mereka) dan lebarnya 1/6 rod. Jadi panjang diagonal gerbang tersebut kira-kiraatau sama dengan 11/16 rod, yang mana hanya berselisih sekitar  0,0004 dari nilai  yang sebenarnya.
Dengan metode Babilonia tersebut, mari coba kita perkirakan nilai dari . 

Jika kita hitung menggunakan kalkulator, nilai yang kita peroleh adalah 3,1623  atau hanya berselisih 0,0044.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Tiar Ayu .K.

Refleksi Kuliah Filsafat Pendidikan Matematika 1 Hari rabu, 15 Oktober 2014

Diposting oleh Tiar Ayu .K. |

Tiar Ayu Kuntari
11313244013
P.Matematika inter’ 11



Pertanyaan 1 : Medina Rendani Sabana
“ Mana yang lebih mempengaruhi, keyakinan mempengaruhi filsafat atau filsafat yang mempengaruhi keyakinan seseorang ?”
Jawab :
Menurut Bapak Prof. Marsigit, jangan sampai filsafat anda menggrogoti keyakinan anda, dihindari filsafat anda jangan sampai mengurangi kadar keyakinan akan tetapi usahakan justru sebaliknya. Namun, Jika mengalami degradasi maka lebih di intensifkan lagi dalam berdoa. Bukan filsafat yang mempengaruhi keyakinan justru sebaliknya yaitu keyakinanlah yang mempengaruhi filsafat, seperti pada seorang muslim maka filsafat bagi seorang muslim yaitu ia dapat mencerminkan prilaku dan pemikiran muslim. Filsafat adalah Pola pikir, seseorang dapat berfilsafat seluas-luasnya dan sebebas-bebasnya akan tetapi ada batasnya, batasnya adalah spiritual masing-masing. Filsafat tergantung dari masing-masing orang dan spiritualnya, jika di dalam spiritual beda maka akan beda pula filsafatnya, jangan sekali-kali filsafat mu menggangu keyakinanmu. Lebih baik sebuah filsafat dapat menyuburkan keyakinan.

Pertanyaan 2 : Sukmo Purwo Diharto
“Yang ada dan mungkin ada, dimana letak yang tidak ada?”
Jawab :
Menurut Bapak Prof. Marsigit, Dalam filsafat Ada dan tidak ada menjadi penyebab ad yang lain, sebagai contoh malam tadi saya berencana untuk pergi kerumah adik dan istri saya berencana untuk berangkat yasinan. Namun entah kenapa saya tidak jadi pergi kerumah adik saya dan istri pun tidak jadi berangkat yasinan. Saya dan istri masing-masing memiliki kesibukan sendiri dirumah. Dilihat dari sisi yasinan, istri saya tidak ada kemudian di rumah adik, saya pun tidak ada. Ketidak adaan saya dirumah adik menyebabkan saya ada dirumah. Begitu pula dengan istri saya. Maka tidak ada itu ada hanya saja berbeda ruang dan waktu. Terkadang pada orang jawa ketidak adaan itu diperlukan sebagai solusi. Sehingga tidak ada itu ada didalam filsafat. Komunikasi ada, tidak ada komunikasi ada

Pertanyaan 3: Aisyah Purnama Dewi
“Bagaimana belajar ikhlas dalam pikiran, hati, mengajar dan beramal?”
Jawab:
Menurut Bapak Prof.Marsigit, Ikhlas itu selama dia diucapkan maka tidak akan ada yang pernah benar, karena keikhlasan itu mencapai ranah spiritual maka tergantung janjinya. Saya berkata iklas itu dari tataran yang mana. Jika tatarannya sudah urusan dunia maka tatarannya multitafsir. Tetapi jika urusan akhirat, maka tafsirannya satu dan manusia tidak pernah mengerti taraf iklas itu sendiri, Sebenar-benarnya Maha Mengerti adalah Sang Pencipta yang mengetahui maha mencipta dalam keikhlasan. Barangsiapa yang mengaku aku di depan Maha Kuasa akan terlempar jauh nantinya. Maka keikhlasan adalah ketika kita tidak lagi mampu mengatakan aku. Ketika muncul aku atau mengaku-ngaku dalam suatu hal berarti belum iklas karena ikhlas sudah tidak dalam mengaku-ngaku. Keikhlasan dalam belajar dan pikiran sesungguhnya selama kita mau memikirkannya maka sunatullah, yaitu sesuia dengan kodratnya sesuia dengan ikhtiarnya. Harmoni dan keseimbangan , sesuai dengan hak dan kewajiban.

Pertanyaan ke 4: Ghosa Kurnia Fistika
“ Yang ada dan yang mungkin ada?”
Jawab:
Menurut Bapak Prof. Marsigit, Seperti contoh yang ada dan yang mungkin ada adalah seperti nama cucu saya yang sekarang didalam dirimu adalah yang mungkin ada. Keberadaannya tergantung saya, jika saya katakan maka akan menjadi ada sehingga tergantung saya. Nanti setelah saya katakan maka nama cucu saya akan masuk kedalam pikiran anda.
Sebenar-benarnya belajar adalah mengadakan diri yang mungkin ada . Ikhlas dalam belajar adalah dengan mengadakan yang mungkin ada menjadi ada. Dengan cara tukmaninah dan istiqomah. Ikhlas dalam belajar adalah ketika kita dapat menyukuri nikmat Tuhan yang diberikan dari proses yang mungkin ada menjadi ada.


Pertanyaan 5: Dyah Purboningsih
“Apa yang ada diluar pikiran dan yang di dalam pikiran?”
Jawab:
Menurut Bapak Prof. Marsigit, Dalam ilustrasi sebuah pena yang ditunjuk kemudian pena tersebut dimasukkan kedalam selembar kertas. Kemudian dimanakah pena tersebut? Para mahasiswa menjawab di dalam kertas.
Secara filsafat anda telah melakukan suatu kecerobohan dengan mengatakan pena tersebut berada di dalam kertas. Apa buktinya jika anda dapat mengatakan hal tersebut? karena tadi anda melihat saya memasukkan ke dalam kertas, artinya anda hanya berasumsi atau hanya berspekulasi saja. Jika menurut filsafat empiris yang murni dikatakan pena saya tersebut tidak ada sebab tidak terlihat. Ini hanya salah satu filsafat masih banyak filsafat yang lain. Pena tadi tidak ada karena tidak terihat maka disebut sebagai empiris murni. Pena tadi berwarna hitam, mengapa anda dapat mengatakan bahwa pena tersebut hitam? Karena pena tersebut telah terdapat atau ada didalam pikiranmu. Jika di dalam pikirannmu tidak ada pena tersebut maka tidak mungkin anda dapat mengatakan pena tersebut berwarna hitam. Sehingga yang ada didalam pikiranmu adalah ideal dan yang ada diluar pikiranmu adalah realis.

Pertanyaan 6: Dita Nur Syarafina
“Apakah ketenangan itu ada padahal manusia bersifat kontradiktif?”
Jawab:
Menurut Bapak Prof. Marsigit, yang kau lihat bersifat kualitas satu, prinsip identitas dan kontradiksi. Prinsip Identitas itu adalah aku sama dengan aku tetapi itu hanya terjadi didalam pikiran dan berada di akhirat. Selam kita di bumi kita berfilsafat maka Sensitif terhadap ruang dan waktu. Sehingga aku tidak bisa menunjuk diriku , karena akan berubah dari diriku yang sekarang menjadi aku yang tadi atau nanti. Karena dalam ruang dan waktu aku itu berbeda, karena dalam filsafat aku dan aku itu salah . Didunia tidak akan sama subyek dengan subyek dan subyek dengan predikat. Subyek dirimu maka predikat itu adalah sifat mu atau milikmu. Seperti misalkan jilbab berwarna biru tidak akan pernah jilbab itu selau berwarna biru karena jilbab itu memiliki berbagai macam warna sehingga tidak mungkin jilbab itu berwarna biru. Karena biru itu yang kualitas pertama , karena biru termasuk ada dan mungkin ada. Dalam berfilsafat tidak hanya memandang jilbab tersebut berwarna biru saja namun makna di dalamnya . Karena hakikat didunia terikat dengan ruang dan waktu tiadalah suatu yang tetap pasti mengalami suatu perubahan. Jika Tenang itu tetap maka dapat diraih dalam pikiran, pengandaian dan diakhirat. Jika berubah tidak tenang maka hakikat hidup itu tidak tenang . Untuk itu, tidak tenang lah dalam pikiran akan tetapi jagalah hati agar tetap tenang. Sebener-benarnya hidup adalah Menidaktenangkan pikiran karena jika pikiran tersebut tenang maka kita berada di akhirat karena ketenangan mu dapat membuatmu tidak mendapatkan apa-apa . Sebenar-benarnya tenang mengandung ketidaktenangan dan sebenar-benarnya hidup maka pikiran kita tidaklah tenang atau kontradiktif.

Pertanyaan 7: Dyah Purboningsih
“Bagaimana hakikat hidup manusia?”
Jawab:
Menurut Bapak Prof. Marsigit, Manusia menemukan hakikat nya berbagai macam cara, dari sisi pemikiran yng mungkin ada dan tidak ada. Dari menyadari adanya dalil-dalil dan aksioma yang tertulis dalam kitab suci dan menjadi pedoman. Seperti pada matematika, matematika memiliki dalil, aksioma dan teorema misalkan Bilangan bulat ditambah bilangan bulat hasilnya bilangan bulat. Karena manusia itu tidak ada yang sempurna maka ketika ada orang yang menemukan 2 lebih besar dari 7 itu karena 2 ditulis dengan spidol dan 7 ditulis dengan pensil. Maka dalil tersebut benar karena terbatas dengan ruang dan waktu. Kita itu dewanya jilbab kita, subyek itu dewanya predikat , kita itu dewanya milik kita dan kita itu dewanya sifat kita , kita yang sekarang dewanya kita yang lalu , kita yang nanti dewanya kita yang sekarang. Yang dimaksud dewa disini adalah suatu dimensi. Ada dimensi yang berbeda-beda . Jika subyek itu adalah dewanya maka predikat itu adalah daksanya. Yang semestinya diberi pantangan adalah daksanya bukan dewanya. Jika kita ingin membuang , melempar, atau sekali memakai jilbab maka itu terserah kita karena kita adalah dewanya jilbab  dan jilbab adalah daksanya dan sifatmu. Maka tidak akan pernah terjadi subyek sama dengan predikat atau subyek sama dengan sifatmu.

  • Digg
  • Del.icio.us
  • StumbleUpon
  • Reddit
  • RSS
Read User's Comments(0)
Diposting oleh Tiar Ayu .K.
Langganan: Komentar (Atom)